520 головоломок.
Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
КОМБИНАТОРНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ИГРОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ГОЛОВОЛОМКИ С ДОМИНО
ГОЛОВОЛОМКИ СО СПИЧКАМИ
РАЗНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ОТВЕТЫ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. Банковский чек. Некий человек пришел в банк, чтобы получить деньги по чеку. Кассир, оплачивая чек, ошибся и вместо причитавшихся ему долларов выдал такое же число центов и соответственно вместо центов — долларов. Человек, не пересчитав деньги, положил их в карман, да еще уронил монетку в 5 центов, а придя домой, обнаружил, что денег у него ровно вдвое больше, чем было указано в чеке. На какую сумму был выписан чек?

2. Доллары и центы. Покупатель истратил в магазине половину всех наличных денег, после чего у него осталось ровно столько центов, сколько было долларов, и вдвое меньше долларов, чем было центов. Сколько денег было у покупателя до того, как он совершил первую покупку?

3. Разменная монета. На какую наибольшую сумму можно взять мелкой монеты, чтобы не быть в состоянии разменять доллар, полдоллара, четверть доллара, 10 центов и 5 центов?¹

4. Благотворительность. Один щедрый человек каждую неделю распределял одну и ту же сумму денег поровну между теми, кто обращался к нему с просьбой о воспомоществовании. Однажды он заметил:

— Если на следующей неделе просителей будет на пять человек меньше, то каждый получит на два доллара больше.

Но, увы, по прошествии недели число просителей не уменьшилось, а возросло на четыре человека.

— Это значит,— заметил благотворитель,— что каждый получит на один доллар меньше.

Сколько получил каждый проситель в этот последний раз?

5. В булочной. В булочной имеются три сорта булочек. На 1 цент можно купить либо одну булочку первого сорта, либо две булочки второго сорта, либо, наконец, три булочки третьего сорта. Дети (среди которых мальчиков и девочек было поровну) получили на покупку булочек 7 центов, причем каждому ребенку отводилась из них одна и та же сумма. Сколько булочек каждого сорта купили дети, если ни одна булочка не была разрезана?

6. Вилли-Лежебока. Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?

7. Необычный клиент. Некий человек принес в банк 1000 долларов однодолларовыми купюрами и 10 пустых мешков и, обратившись к клерку, сказал:

— Не откажите в любезности разложить эти деньги по мешкам так, чтобы любую сумму денег, которая мне понадобится, вы всегда могли бы выдать в одном или нескольких мешках, не вскрывая при этом ни одного из них.

Как нужно разложить деньги? Выдать любую требуемую сумму банк должен лишь один раз, величина ее ограничена только размером вклада. Иначе говоря, вкладчик имеет право потребовать любую сумму от 1 до 1000 долларов (число долларов должно быть целым).

8. Игра «наоборот». Семеро приятелей решили играть в карты по не совсем обычным правилам. Тот, кто выигрывал, должен был уплатить каждому из остальных игроков столько денег, сколько у того было в кармане. Игроки сыграли семь партий и, как это ни странно, выиграли по очереди в алфавитном порядке своих имен, начинавшихся соответственно с А, В, С, D, E, F и G.

Окончив игру, приятели обнаружили, что у каждого осталось ровно по 1 доллару 28 центов. Сколько денег было у каждого игрока перед началом игры?

9. Два землекопа. Эта любопытная задачка в действительности труднее, чем может показаться на первый взгляд. Абрахам, хилый старик, подрядился выкопать канаву за 2 доллара. Он нанял Бенджамина, здоровенного парня, чтобы тот ему помог. Деньги они должны были поделить в соответствии с «копательными» способностями каждого. Абрахам копает так же быстро, как Бенджамин выбрасывает грунт, а Бенджамин копает в четыре раза быстрее, чем Абрахам выбрасывает грунт.

Каким образом они должны поделить деньги? Разумеется, соотношение сил старика и молодого человека как при копке, так и при выбрасывании грунта мы принимаем одинаковым.

10. Назовите их жен. Некто оставил трем своим родственникам и их женам в наследство 1000 долларов. Все жены вместе получили 396 долларов. Джейн получила на 10 долларов больше Кэтрин, а Мери — на 10 долларов больше Джейн. Джон Смит получил столько же, сколько и его жена, Генри Снукс получил в полтора раза больше своей жены, а Тому Кроу досталась сумма, которая вдвое больше доли наследства его жены. Как звали жену каждого из трех мужчин?

11. Рыночные сделки. Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца — 10 долларов и один кролик — 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?

Эту задачу можно решить с помощью более или менее кропотливого подбора, однако существуют способы, позволяющие быстро получить решение.

12. Семь торговок яблоками. У семи торговок было соответственно 20, 40, 60, 80, 100, 120 и 140 яблок. Они отправились на рынок и продали все свои яблоки по одной и той же цене, получив одинаковую выручку. По какой цене торговки продали яблоки?

13. Наследство. Один человек оставил своим трем сыновьям и госпиталю наследство в 1320 долларов. Если бы и часть наследства, выделенная госпиталю, досталась старшему сыну, тот получил бы столько, сколько два его брата вместе. Если бы «госпитальная» часть наследства прибавилась к наследству среднего сына, то последний получил бы вдвое больше обоих своих братьев вместе. Наконец, если бы эта часть наследства добавилась младшему сыну, то тот получил бы втрое больше, чем оба его брата вместе. Сколько долларов получил каждый из сыновей и какая сумма была завещана госпиталю?

14. Загадочное наследство. Некто завещал распорядиться суммой денег, которая была немного меньше 1500 долларов, следующим образом. Пятеро его детей и нотариус получили такие суммы, что квадратный корень из доли старшего сына, половина доли второго сына, доля третьего сына, уменьшенная на 2 доллара, доля четвертого сына плюс 2 доллара, удвоенная доля дочери и квадрат гонорара нотариуса равнялись между собой. Все наследники и нотариус получили по целому числу долларов, причем на выплату долей наследства и гонорара нотариусу ушли все деньги. Какая сумма была оставлена в наследство?

15. Раздел наследства. Один человек оставил наследство в 100 долларов, которое надо было поделить между его сыновьями Альфредом и Бенджамином. Если треть доли Альфреда вычесть из четверти доли Бенджамина, то останется 11 долларов. Чему равна доля каждого сына?

16. Новый компаньон. Два компаньона Смаг и Вильямсон решили взять себе третьего — мистера Роджерса. Смаг вложил в дело в 1 раза больший капитал, чем Вильямсон. Роджерс должен внести 2500 долларов, которые следует разделить между двумя другими компаньонами так, чтобы паи всех трех компаньонов стали после этого равны между собой. Как следует разделить сумму, внесенную Роджерсом?

17. Карманные деньги.

— Когда сегодня утром я пришел на вокзал,— рассказывал в своем клубе Гарольд Томпкинс,— то обнаружил, что у меня с собой мало денег. Половину их я истратил на билет и купил на 5 центов конфет, а половину того, что у меня оставалось, да еще 10 центов потратил на газету, выйдя из поезда. Затем половина оставшихся денег ушла на автобус, а 15 центов я дал нищему, который стоит у дверей клуба. Поэтому сейчас у меня осталось только 5 центов. Сколько денег я захватил с собой из дому?

18. Раздача денег. Девять приятелей А, В, С, D, Е, F, G, Н, К, собравшись как-то раз, чтобы вместе провести вечер, проделали следующее. Сначала А вручил каждому из остальных восьми человек столько денег, сколько у того было. Затем то же самое проделали В, С и т. д. до К включительно. После этого оказалось, что у всех девяти человек денег стало поровну.

Сумеете ли вы найти наименьшую сумму в центах, которая могла быть у каждого из участников вечера первоначально?

19. Снижение цен.

— Меня часто озадачивает,— сказал полковник Крэкхэм,— удивительная система снижения цен, с которой порой приходится сталкиваться, и я все пытаюсь понять ее закономерность. Например, два года назад один человек предлагал мне мотоцикл за 1024 доллара. Год спустя он сбавил цену до 640 долларов, немного позже он просил уже только 400 долларов, а на прошлой неделе готов был продать его всего лишь за 250 долларов. Когда он снизит цену в следующий раз, я куплю этот мотоцикл. Сколько мне придется заплатить после очередного снижения?

20. Лошади и волы. Торговец скотом купил некоторое количество лошадей по 344 доллара и некоторое количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что все лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?

21. Индюки. Один фермер купил партию индюков, которая стоила 60 долларов. Оставив себе 15 птиц, фермер продал остальных индюков за 54 доллара. При этом он получил по 10 центов прибыли с каждой птицы. Сколько он купил индюков?

22. Несчастный бакалейщик. Один бакалейщик, владелец маленькой лавочки, решил отложить на черный день небольшую сумму денег — все в долларовых купюрах и в монетах по половине и по четверти доллара. Всю эту сумму он разложил по 8 мешкам, причем так, что в каждом мешке было одинаковое число бумажных долларов и монет каждого достоинства. Однажды вечером бакалейщик решил переложить все эти деньги в 7 мешков так, чтобы во всех мешках бумажных купюр и монет каждого достоинства по-прежнему было поровну. На следующий вечер он подобным же образом переложил все деньги в 6 мешков.

Затем несчастный безумец попытался переложить все в 5 мешков, но после нескольких часов упорного труда в совершенном изнеможении, так и не осуществив своего замысла, скончался, горько оплакиваемый соседями. Какова наименьшая из тех сумм, которые бакалейщик мог отложить на черный день?

23. Утерянный цент. Это старинная задача, которая и поныне способна многих поставить в тупик. Две торговки продавали яблоки, одна по три, а другая по две штуки на цент. На некоторое время им пришлось отлучиться. У каждой еще оставалось по 30 непроданных яблок, которые они доверили своей подруге, чтобы та продала их по 2 цента за пять штук. Если бы торговки успели продать оставшиеся яблоки сами, то выручили бы за них 25 центов, а так они смогли выручить лишь 24 цента. «Куда же,— спросите вы,— девался 1 цент? Ведь продавать по три яблока на цент и по два яблока на цент — это все равно, что на 2 цента продавать по пять яблок».

Не могли бы вы объяснить эту нехитрую загадку?

24. Лига Красной Смерти. Во время облавы на штаб-квартиру одной тайной организации полиция обнаружила клочок бумаги, изображенный на рисунке.

---

---

— Над этой бумажкой,— сказал сыщик,— я бьюсь уже третьи сутки. На ней указана общая сумма членских взносов за этот год: 3007 долларов 37 центов, но вот число членов (а мне известно, что их не более 500) и размер одного взноса замазаны так, что прочитать их невозможно. Сколько в Лиге Красной Смерти членов и каков размер членского взноса?

Разумеется, взнос не может содержать дробные доли цента.

25. Трудный вопрос из области птицеводства. Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?

26. Мальчики и девочки. Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?

27. Сколько стоит костюм?

— Привет, старик,— воскликнул Рассел, увидев в дверях клуба Генри Мелвилла, облаченного в новый твидовый костюм.— Тебе что, повезло в карты? Нет? Тогда чем объяснить столь роскошный вид?

— О, просто я тут как-то заскочил к портному, и этот костюм пришелся мне по душе. Вот небольшая головоломка для тебя. Пиджак стоит столько же, сколько брюки и жилет. Но пиджак и двое брюк стоили бы 175 долларов, а брюки и два жилета стоили бы 100 долларов. Сколько стоит костюм?

28. Странное соглашение. За завтраком профессор Рэкбрейн рассказал своим домашним о том, что накануне вечером в вагоне оказался свидетелем следующего разговора.

Один пассажир сказал другому:

— Вот мой кошелек, Ричард, дай мне такую же сумму, какую ты найдешь внутри.

Ричард сосчитал деньги в кошельке, добавил столько же из своего кармана и заметил:

— А теперь, Джон, если ты дашь мне столько денег, сколько у меня осталось, мы будем квиты.

Сделав так, как просил приятель, Джон обнаружил, что у него в кошельке 3 доллара 50 центов. У Ричарда же оказалось 3 доллара. Сколько денег было первоначально у каждого из приятелей?

29. Манипуляции с яблоками. Одного человека как-то спросили, сколько он платил за сотню яблок, и он ответил следующее:

— Если бы сотня яблок стоила на 4 цента больше, то на 1 доллар 20 центов я получил бы на пять яблок меньше.

Сколько стоили 100 яблок?

30. Процветающее дело. Один бизнесмен первоначально вложил в свое дело 2000 долларов. Каждые 3 года он увеличивал свой капитал на 50%. Какую сумму составил его капитал по истечении 18 лет?

31. Банкир и фальшивая банкнота. Один банкир шел по улице маленького провинциального городка, как вдруг увидел на мостовой банкноту в 5 долларов. Он поднял ее, запомнил номер и пошел домой завтракать. За завтраком жена сообщила ему, что мясник прислал счет на 5 долларов. Поскольку других денег у банкира при себе не оказалось, он отдал жене найденную банкноту, чтобы оплатить счет. Мясник отдал эту банкноту фермеру, когда покупал теленка, тот — торговцу, торговец в свою очередь дал ее прачке, а прачка, вспомнив, что задолжала банку 5 долларов, отнесла ее туда и погасила свой долг.

Банкир узнал банкноту, которой к тому времени было оплачено долгов на 25 долларов. При внимательном изучении банкнота оказалась фальшивой. Кто и сколько потерял на всех этих операциях?

32. Их возраст. Если квадрат возраста Тома прибавить к возрасту Мэри, то получится 62; но если квадрат возраста Мэри прибавить к возрасту Тома, то результат будет равен 176. Сколько лет Тому и Мэри?

33. Семья миссис Вильсон. У миссис Вильсон было трое детей: Эдгар, Джеймс и Джон. Половина ее возраста равнялась сумме возрастов всех детей. Спустя пять лет, когда родилась еще дочь Этель, возраст миссис Вильсон стал равен сумме возрастов всех ее детей. Прошло еще десять лет — появилась на свет дочь Дейзи. В момент, когда произошло это событие, Эдгару было столько же, сколько Джону и Этель вместе. Прошло еще какое-то время, и общий возраст всех детей оказался равным удвоенному возрасту миссис Вильсон, который совпадал с суммой возрастов Эдгара и Джеймса. Возраст Эдгара в свою очередь стал равен сумме возрастов двух его сестер.

Сколько лет каждому из детей миссис Вильсон было к этому моменту?

34. Де Морган и другие. Математик Август де Морган, умерший в 1871 г., любил говорить, что ему исполнилось x лет в x² году. Джаспер Дженкинс, желая его перещеголять, сообщил мне в 1925 г., что ему было a² + b² лет в a⁴ + b⁴ году, что его возраст равнялся 2m в 2m² году и, наконец, что ему исполнилось 3n лет в 3n⁴ году.

В каком году родились Де Морган и Дженкинс?

35. «Простая» арифметика. Однажды при посещении дома для душевнобольных я спросил двух пациентов, сколько им лет. Они ответили. Решив испытать их арифметические способности, я попросил сложить два названных возраста. У одного получилось при этом 44, а у другого 1280. Я сообразил, что первый вычел один возраст из другого, а второй их перемножил. Сколько лет было больным?

36. Древняя задача. Вот пример задачи, которую можно предлагать за завтраком. Ее сформулировал Метродор в 310 г. до н. э.

Демохар четверть своей жизни был мальчиком, одну пятую — юношей, треть — мужчиной и 13 лет прожил стариком. Сколько всего лет он прожил?²

37. Возраст членов семьи. У одной супружеской пары было трое детей: Джон, Бен и Мэри. Причем разница в возрасте у родителей была такой же, как между Джоном и Беном и между Беном и Мэри. Произведение возрастов Джона и Бена равнялось возрасту отца, а произведение возрастов Бена и Мэри — возрасту матери. Общий возраст всех членов семьи равнялся 90 годам. Сколько лет было каждому из них?

38. Возраст Майка. «Пэту О“Коннору,— сказал полковник Крэкхэм,— теперь в 1, раза больше лет, чем было тогда, когда он построил свинарник под окном своей гостиной. Маленькому Майку, которому в ту пору, когда Пэт построил свинарник, было 3 года и 4 месяца, теперь на 2 года больше, чем половина того возраста, в котором была Бидди, жена Пэта, когда Пэт построил свой свинарник, так что, когда маленькому Майку будет столько лет, сколько было Пэту, когда тот построил свинарник, то суммарный возраст всех троих достигнет ста лет. Сколько лет маленькому Майку сейчас?»

39. Сколько лет каждому сыну? Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?

40. Брат и сестра. Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:

— Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад — в 4 раза, в прошлом году — в 3 раза, а в этом году я в 2 раза старше ее.

Сколько лет мальчику и его сестре?

41. «Квадратная» семья. У одного человека было 9 детей, причем все они родились через одинаковые промежутки времени, а сумма квадратов их возрастов равнялась квадрату его собственного возраста. Сколько полных лет было каждому из детей?

42. В 1900 г. Один читатель задал в 1930 г. следующий вопрос. (На первый взгляд можно подумать, что для ответа на него не хватает данных, но это не так.) Он знал человека, который умер в возрасте, составлявшем от года его рождения. Сколько лет было этому человеку в 1900 г.?

43. Узнайте день рождения. Один читатель сообщил нам, что к полудню 11 ноября 1928 г. он прожил в XIX в. ровно столько же, сколько и в XX. Нам, конечно, захотелось узнать дату его рождения. Может быть, вы тоже сможете это сделать? Будем считать, что он родился в полдень,

44. Рождение Боадицеи. Боадицея³ умерла через 129 лет после рождения Клеопатры. Их суммарный возраст (то есть сумма продолжительностей жизни каждой) равнялся ста годам. Клеопатра умерла в 30 г. до н. э. Когда родилась Боадицея?

45. Возраст Робинсона.

— Сколько вам лет, Робинсон? — спросил однажды полковник Крэкхэм.

— Точно не помню,— ответил тот, — но мой брат на 2 года старше меня. Моя сестра на 4 года старше брата. Когда я родился, моей маме было 20 лет, а вчера мне сказали, что средний возраст всех четверых составляет 39 лет.

Сколько лет Робинсону?

46. Часы из страны сновидений. Во сне я путешествовал по стране, где происходят удивительные вещи. Один случай запомнился мне так хорошо, что я не забыл его, даже когда проснулся. Во сне я увидел часы и произнес вслух время, которое они показывали, но мой проводник поправил меня. Он сказал:

— Очевидно, вы не знаете, что у нас минутные стрелки всегда движутся в направлении, противоположном часовым. Во всем остальном наши часы в точности такие же, как и те, к каким вы привыкли.

Если в тот момент, когда я смотрел на часы, обе стрелки совпали и находились между четырех- и пятичасовым делениями, а в полдень они обе показывали XII, то сколько времени было в ту минуту на обычных часах?

47. Когда это бывает? Когда стрелки часов располагаются таким образом, что если за расстояние принять число минутных делений после XII, то путь, пройденный одной из стрелок, равен квадрату пути, пройденному другой?

48. Часы с неразличимыми стрелками. У одного человека были часы, на которых совершенно невозможно было отличить часовую стрелку от минутной. Если эти часы пущены в полдень, то когда впервые нельзя будет узнать точное время?

Читатель должен помнить, что в подобных головоломках с часами существует соглашение, по которому считается, что мы в состоянии определять доли секунды. При таком допущении можно дать точный ответ.

49. Треснувший циферблат. Полковник Крэкхэм спросил за завтраком своих домашних, смогли бы они по памяти изобразить римские цифры, которые украшают циферблат часов. Джордж попал в ловушку, в которую многие уже попадали до него: он обозначил 4 ч цифрой IV вместо IIII.

---

---

Затем полковник Крэкхэм предложил угадать, как можно разбить циферблат на четыре части, чтобы при этом сумма цифр в каждой части равнялась 20. Чтобы пояснить, как это делается, полковник показал рисунок, на котором сумма цифр в двух частях действительно равна 20 (зато в двух остальных частях она равна соответственно 19 и 21, что делает этот пример непригодным в качестве решения).

50. Когда начался бал?

— На последнем балу,— сказала Дора во время завтрака,— гости подумали, что часы остановились: их стрелки находились в том же положении, что и в начале вечера. Однако оказалось, что часовая и минутная стрелки просто поменялись местами. Как вы помните, бал начался между десятью и одиннадцатью часами. Не можете ли вы назвать время более точно?