Лекция 13. Раздел 13.1
Дифференцирование неявно заданных функций.

Кроме обычного и параметрического способов задания функций существует еще и неявный способ. Пусть значения переменных и связаны уравнением, имеющим вид . Здесь функция не выражена через свой аргумент . Например, .

Если функция , которая определена при , при подстановке ее в уравнение обращает данное уравнение в тождество, то говорят, что функция задана неявно уравнением .

В некоторых случаях из неявно заданной функции можно найти ее явное задание , а иногда и нельзя. Например, и .

Возникает вопрос, как находить производную , если функция явно не задана и сделать ее явной невозможно. Правило заключается в том, что обе части неявного задания функции дифференцируют по , а затем из полученного выражения находят . Например,

.

Приложением данного метода является так называемое логарифмическое дифференцирование. Пусть дана степенно-показательная функция, например, . Вычислим вначале логарифм от ее обеих частей: . Это уже неявно заданная функция. Продифференцируем ее по :

.