Лекция 4. Раздел 4.1
Смешанное произведение.

Рассмотрим теперь произведение трех векторов , , , составленное следующим образом: . Здесь присутствует как векторное, так и скалярное произведение.

Определение. Смешанным произведением векторов , , называется число, равное

Обозначается смешанное произведение . Геометрически оно выглядит следующим образом (рис. 4.1.1):

Рис. 4.1.1

Так как смешанное произведение состоит из скалярного и векторного, то оно должно иметь те же свойства, то есть распределительное по отношению к сумме, постоянный множитель можно выносить за знак произведения, перестановка сомножителей меняет знак произведения на противоположный. Но так как сомножителей три, то можно переставлять их так, чтобы знак произведения не менялся:

Теорема 4.1.1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Доказательство.

Необходимость. Дано, что . Значит, . Но это возможно, если или . Из первого равенства следует, что и лежит в той же плоскости, что и . Из второго равенства следует, что или . В этом случае векторы и совпадают и получаем две прямые, через которые можно провести плоскость.

Достаточность. Дано, что , , – компланарны. Но это значит, что и .

Теорема 4.1.2. С геометрической точки зрения смешанное произведение определяет объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.