Немного о математике
Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.
Академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождения математики, элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI — V вв. до нашей эры. Это было началом периода эле ментарной математики.
В течение этого периода исследования в математике имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел, как раздел математики. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии — геометрии Евклида — на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения теории математики.
В XVII в. запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих изучать движение с помощью математики, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
На первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем в математике такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины и числа. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа — методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь все более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но также и в следствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является "воображаемая" геометрия Н. Лобачевского. Развитие подобного рода исследований в математике XIX — XX вв. позволяет отнести ее к периоду современной математики.
Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода в математике является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуж дения. В силу объективной необходимости, указывает чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев , логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая ин туиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.
В математике изучаются математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты (структуры) для изучения этих моделей. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математики важна не природа рассматри ваемых объектов, а существующие между ними отношения.
В математике используются два вида умозаключений: дедук ция и индукция, позволяющие сделать выводы соответственно на основании общих знаний для конкретного случая и наоборот — на основании частных случаев об общих суждениях. Принцип математической индукции гласит, что утверждение А(п), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального числа п из предположения, что верно А(п), доказано, что верно также А(п+1).
При формулировке утверждений в математике часто используются необходимые и достаточные условия. Пусть рассматривается какое-либо утверждение (положение) В в связи с некоторым утверждением (условием) А. Если из В следует А, т. е. В=> А, то А называется необходимым условием для В, если же из А следует В, т. е. А=>В, то А называется достаточным условием для В. Например, делимость числа на 2 —необходимое условие его делимости на 6 (делимость на 6 => делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 — достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 => делимость на 6). Если одновременно верны утверждения В=>А и А=>В, т. е. A <=> B, то А называется необходи мым и достаточным условием для В.
Таким образом, необходимые условия — те, без которых рассматриваемое утверждение заведомо не может быть верным, а достаточные условия — те, при выполнении которых это утверждение заведомо верно. Выражение "необходимо и достаточно", можно заменить равносильными выражениями "тогда и только тогда", "если и только если", "в том и только в том случае". Необходимые и достаточные условия обладают в математике большой познавательной ценностью.
Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и эле ментом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.
Основы высшей математики были разработаны в трудах выдающихся ученых: математика и механика Древней Греции Ар химеда (287—212 гг. до нашей эры); французского философа и математика Р. Декарта (1596—1650); английского физика и математика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа, математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математика, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французского математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); немецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французского математика О. Коши (1789—1857) и многих других крупнейших ученых.
Большой вклад в развитие математики внесли выдающиеся русские математики — Н.И. Лобачевский (1792—1856), М.В. Остроградский (1801—1861), П.Л. Чебышев (1821—1894), А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов (1857-1918) и другие.
Современная российская математическая школа занимает передовое место в мировой математической науке благодаря трудам знаменитых математиков: А.Д. Александрова, П.С. Александрова, В.И. Арнольда, С.Н. Бернштейна, Н.Н. Боголюбова, И.Н. Векуа, И.М. Виноградова, В.М. Глушкова, Л.В. Канторовича, М.В. Келдыша, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева, Ю.В. Линника, А.И. Мальцева, П.С. Новикова, Ю.В. Прохорова, В.И. Смирнова, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и многих других.
