Ответ к задаче 37

Для каждого уже записанного числа A вы дописываете число, цифры которого получаются как дополнения до 9 соответствующих цифр числа A.

Если были записаны m чисел, состоящих из n цифр, то сумма этих m чисел и чисел, записанных вами согласно вышеописанному правилу будет равна 10ⁿ·m – m.

Если среди первоначально записанных чисел есть число вида 99...9, тогда для него не нужно писать дополнительное число.

Обоснование.

1. Если записано число из (n+1) цифр a_n≠0, и вы дописываете число , где   b_i=9–a_i   i=0, 1, ..., n, ясно, что сумма чисел и будет равна . Таким образом, если были записаны m чисел, то сумма этих чисел и чисел, дописанных вами будет равна (10ⁿ⁺¹–1)·m = 10ⁿ⁺¹·m – m.


2. Если a_n=9 и a_n-1≠9, тогда вы дописываете число , где   b_i=9–a_i   i=0, 1, ..., n-1, и получаем, что .