Опыты математиков превращают мяч в футбольный пончик
Оказывается, обычные мячи, которые появились на соревнованиях за кубок FIFA ещё в 1970 году, можно достаточно долго и увлекательно модифицировать. И дело тут совсем не в улучшении материалов или использовании каких-то современных технологий, а в полёте фантазии. Математической фантазии.
Согласно довольно строгим правилам, покрышка обыкновенного спортивного мяча состоит из 32 кусочков в форме правильных выпуклых фигур – 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, расположенных рядом друг с другом так, что они образовывают закрытую пространственную фигуру, которая напоминает сферу. Это, так сказать, спортивное определение футбольного мяча.
А теперь выясняется, что в порядок этой строго заданной фигуры можно вносить самые разнообразные изменения. И от кого бы вы думали исходит этот анархистский импульс? Ни за что не поверите – всё от тех же людей, обожающих точные определения – от математиков.
Как утверждает Иварc Петерсон (Ivars Peterson) в своей статье о матэкспериментах с футбольными мячами, модели этих спортивных снарядов вполне могут быть преобразованы в другие мячи сферической и даже тороидальной формы.
Автор, правда, в оригинале говорит о форме пончика, но, думается, что его утверждение и без того звучит несколько шокирующее.
Дитер Котшик (Dieter Kotschick), математик из Мюнхенского университета (Mathematisches Institut der Universit?t M?nchen), поясняя неожиданную ситуацию, информирует о том, что "для математика футбольный мяч – это интригующая головоломка".
Но тут же он задаётся целым рядом вопросов, о которых нематематик наверняка даже и не задумается: есть ли другой способ расположить кусочки покрышки? Можно ли использовать другие фигуры вместо пяти— и шестиугольников? И вообще, могут ли мячи выглядеть как-то иначе?
Котшик говорит, что футбольный мяч соответствует следующим требованиям, опирающимся на теорию графов:
Он является многогранником, состоящим исключительно из пяти— и шестиугольников;
Пятиугольники своими сторонами касаются только шестиугольников;
Стороны шестиугольников могут касаться сторон как пяти-, так и шестиугольников.
Если потребовать, чтобы в вершинах соприкасались три фигуры, то получится обычный мяч. Но если это требование изменить, то возможными станут многие другие варианты дизайна.
Сделать это можно с помощью математического аппарата, называемого разветвлённым покрытием.
Такое своеобразное развлечение можно назвать научным, ведь футбольный мяч вполне можно назвать математическим объектом. Более того, его модель получила место в классификации геометрических фигур, и называется она "усечённый икосаэдр" (о свойствах этой фигуры можете подробнее почитать тут).
Надо сказать, что с футбольными мячами математики обращаются довольно свободно.
К примеру, Котшик рассказывает, как можно создать "новый" мяч вот так…
Представьте обыкновенный футбольный мяч, собранный из обычных 32 кусочков-граней, наложенных на поверхность Земли так, чтобы одна из вершин находилась на Северном полюсе, другая – на Южном. Прочертите маршрут от полюса до полюса так, чтобы он проходил по сторонам граней. После этого – всего-то! – вытяните получившуюся ломаную линию в прямую – "меридиан", "выпрямляя" стороны граней, образующих линию.
Затем сделайте разрез вдоль одного меридиана и, придерживая полюса на местах, ужимайте поверхность – что может быть проще? – до тех пор, пока она не станет занимать ровно полушарие (западное, например). Затем сделайте копию этой поверхности и покройте ею незакрытую половину сферы (то есть, восточное полушарие).
Дальше ещё проще – сшейте два полушария. Получили новый мячик, у которого пяти— и шестиугольников стало вдвое больше.
"Причина в том, что оба шва от полюса до полюса, как и обе стороны разреза, который мы сделали вначале ещё на обычном мяче, неразличимы, — объясняет Котшик. – Поэтому два получившихся куска подходят друг к другу идеально".
"Свежеиспечённый" мяч на математическом языке и называется разветвлённым покрытием первоначального мяча, а полюса (которые, как вы помните, нужно было держать зафиксированными; вы их крепко держали?) называются точками разветвления.
Обратите внимание, что новый мяч продолжает удовлетворять прежним условиям: он всё так же состоит из пяти— и шестиугольных граней, пятиугольники касаются сторонами только шестиугольников, а стороны шестиугольников примыкают и к тем, и к другим. Поэтапно этот процесс можете изучить на иллюстрации.
Этим методом вы, кстати, можете создать бесконечное множество вариантов дизайна мяча. К примеру, если сделать восемь копий так же разрезанной по меридиану поверхности мяча, то получится новый мяч с 96 пятиугольниками и 160 шестиугольниками. Трудновато представить себе этого пятнистого футбольного монстра на поле, но и он будет удовлетворять упомянутым требованиям.
Кстати, для этой версии мяча разрезанную поверхность потребуется сжимать не до полусферы а до… Пусть это будет маленьким "заданием на дом".
Существует ещё множество самых разнообразных опытов, в которых происходят такие перемены, которые словами описать труднее.
Например, математик Майкл Тротт (Michael Trott) предложил модификацию, которая называется тройным покрытием сферы Римана, в процессе построения которой из одного мяча формируется новый, имеющий три совпадающие поверхности. То есть, фактически, фигура проходит ряд изменений, которые превращают мяч… сам в себя.
Если же сделать пару небольших ромбических разрезов, то мяч можно преобразовать в тор (то есть, бублик или пончик – кому как по вкусу). Это изменение основано на так называемой гомотопности сферы и её растянутой проекции, сделанной вдоль разреза (квадратная форма которого растягивается до окружности) на некоторое подобие трубы.
А гомотопность — не что иное, как свойство этих фигур непрерывным образом деформироваться друг в друга. После совершения этой процедуры края трубы (бывшие некогда разрезами на сфере) соединяются – получается тор.
Тор-мяч (да-да, он состоит из тех же пяти-шестиугольных фигур, соединённых всё по тем же правилам, но "растянутых" на торе) можно трансформировать обратно просто в мяч, причём ничего не разрезая.
Интересно, как математики умело доказывают, что мяч можно получить из самых разнообразных фигур, даже завязанных узлом-трилистником, который, как считается, развязать невозможно.
Другое дело — математика на стыке с футболом – тут разрешено многое. Действительно, что сложную фигуру легко можно превратить в банальный мяч.
Из этой же загогулины можно сделать мяч и таким способом. На первый взгляд, похоже на взрыв. В самом деле, никакого баловства. Посмотрите внимательнее: сначала элементы радиально удаляются от закрученной оси трилистника, а после собираются согласно тому же математическому преобразованию, что и в предыдущем случае.
Вообще, тут всё серьёзно: вот, к примеру, заставил Майкл Тротт свой футбольный мяч дышать. На первый взгляд – шутка. А оказывается, "вдохнувший" и "выдохнувший" мячи отличаются значением лишь одного параметра в формуле, по которой они переходят друг в друга. Получилось не только красиво и забавно, но и научно.
В общем, как видите, математика и футбол нашли общую точку. И, что приятно, не разветвления, а пересечения. Конечно, учёные тут позволяют себе то, чего в реальности трудно достичь – разрезать и сшивать мяч, растягивать его в тор, закручивать и раскручивать во всякие трилистники (хорошо, что они ещё до самих футболистов не добрались).
Тем не менее, модель самого обычного, родного "круглого" мяча всегда присутствует в изысканиях математиков – либо до, либо после трансформации. И самое главное – ни красная карточка, ни пенальти, ни удаление с поля за это не грозят.
