Лекция 11. Раздел 11.3
Свойства производных.

Прежде чем приступить к изучению правил дифференцирования, рассмотрим свойства производных.

Свойство 11.3.1. Производная константы равна нулю, то есть если , то .

Зададим приращение аргументу , тогда . При этом и . Отсюда . Значит, и , то есть .

Свойство 11.3.2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, то есть если , то .

Зададим приращение аргументу , тогда . При этом , а . Отсюда

.

Значит,

и ,

то есть .

Свойство 11.3.3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций, то есть если , то .

Зададим приращение аргументу , тогда . При этом , а . Отсюда . Значит, и , то есть .

Свойство 11.4.4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна производной первого сомножителя, умноженной на второй сомножитель, плюс первый сомножитель, умноженный на производную второго сомножителя, то есть если , то .

Зададим приращение аргументу , тогда . При этом , а . Отсюда

.

Значит, и , то есть .

Свойство 11.5.5. Производная частного дифференцируемых функций равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это делится на квадрат знаменателя, то есть если , то .

Зададим приращение аргументу , тогда . При этом , а . Отсюда

.

Значит, и , то есть .