Лекция 12. Раздел 12.3
Дифференцирование параметрически заданной функции.

Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.

Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

1. Окружность.

Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:

Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 12.3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности

Рис. 12.3.1

2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 12.3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид:

Рис. 12.3.2

3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 12.3.3). Найдем ее координаты:

Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:

Рис. 12.3.3

4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 12.3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид: