Лекция 2.Раздел 2.3
Действия над матрицами

Определение 2.3.1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 2.3.2. Суммой двух матриц  , где ; и  , где ; .одинаковых порядков  называется матрица  где ; .( того же порядка, элементы которой равны  .

На письме это действие может быть записано так:   . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным  .

Определение 2.3.3. Произведением матрицы  на число   называется матрица , элементы которой равны .

Умножение матрицы на число может быть записано:    или   .

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел .

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение 2.3.4. Произведением матрицы ( ; ), имеющей порядок  , на матрицу ( ), имеющую порядок , называется матрица   где ; , имеющая порядок  , элементы которой равны  , где ; , .

Записывается это действие так   . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента  , в произведении   необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы  -ой строки матрицы на элементы  -го столбца матрицы  , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы  было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение  и   существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк  , а число столбцов равно числу строк  . В этом случаее   и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы  и были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц  имеет свойства: сочетательное  ; распределительное  . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.

Определение 2.3.5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

В том случае, если   , то для любой квадратной матрицы    порядка    справедливо   . Действительно, для   получаем    . Для     –   . Отсюда,   .

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы   , обозначается она –   , у нулевой   , обозначается она –   .

Как было показано   ,   . Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что  ;   . Таким образом, матрицы   и   выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.