Лекция 5. Раздел 5.4
Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек на плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат, у которой по оси расположены фокусы и (рис. 5.4.1). Возьмем произвольную точку на плоскости . Тогда, по условию, .

Рис. 5.4.1

Пользуясь формулой для длины вектора, получаем ; откуда

и , следовательно,

. Проведем алгебраические преобразования: . Это дает

или . Избавимся от корня:

Значит,

Так как , обозначим . Полученное уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Так как уравнение содержит , , то эллипс должен быть симметричен относительно осей координат. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. На оси это , на оси – .

Отрезок называется большой осью, – малой. Соответственно, числа и называются большой и малой полуосями. Отношение называется эксцентриситетом. Очевидно, что .

Чем меньше отличаются между собой и , тем меньше . Действительно, и стремится к нулю при сближении и . Значит и при этом. При эллипс вырождается в окружность.

Если фокальной осью является ось , то и эллипс расположен вертикально.