Ответ к задаче 35

Зачеркнутая цифра есть то наименьшее натуральное число, которое нужно добавить к сумме цифр объявленного числа, чтобы получить число, делящееся на 9. Если сумма цифр объявленного числа уже делится на 9, то была вычеркнута цифра 9.

Обоснование.
Способ угадывания опирается на то, что разность между любым числом и суммой его цифр всегда делится на 9.
Пусть A = = 10ⁿ·a_n+10^n-1·a_n-1+ ... +10·a₁+a₀ – натуральное число, записанное с помощью (n+1) цифры. Разность между этим числом и суммой его цифр равна:

то есть, делится на 9.

Аргументация способа угадывания.

Пусть B – число, записанное вами, сумма цифр которого делится на 9. Из сказанного следует, что и число B делится на 9. После того как это число было умножено на любое целое число, получаем число C, которое также делится на 9. Таким образом, сумма цифр числа C делится на 9. Если вычеркиваем цифру m числа C, тогда сумма цифр числа D, полученного в результате, будет на m меньше, чем сумма цифр числа C.

Поскольку в результате перестановки цифр сумма их не меняется, то зачеркнутая цифра (0 не вычеркивается) всегда будет равна наименьшему натуральному числу, которое необходимо прибавить к сумме цифр полученного результата, чтобы получить число, делящееся на 9.