Лекция 13. Раздел 13.3
Дифференциал.

С понятием производной непосредственно связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.

Пусть на отрезке задана непрерывная и дифференцируемая функция . По определению ее производная равна:

.

Но в этом случае, согласно теореме 9.2.1, получаем:

(13.3.1),

где – бесконечно малая величина.

Умножим равенство (13.3.1) на :

.

Полученное выражение является приращением функции, представленным в виде двух слагаемых. Сравним эти слагаемые с бесконечно малой величиной .

Для первого слагаемого

,

для второго –

.

Из полученных выражений видно, что первое слагаемое в приращении функции является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и , а второе слагаемое имеет более высокий порядок малости, чем , то есть

.

Кроме того, первое слагаемое линейно относительно .

Определение 13.3.1. Если приращение функции можно представить в виде двух слагаемых: первого, линейного относительно , и второго, бесконечно малого относительно , то сама функция называется дифференцируемой, а первое слагаемое – главной частью приращения функции или ее дифференциалом.

Дифференциал функции имеет свое обозначение:

(13.3.2)

Найдем дифференциал функции . По определению он равен: . Но с другой стороны, так как , то . Сравнивая эти два выражения, получаем, что . Итак, дифференциал независимой переменной или аргумента функции совпадает со своим приращением. У функции . Из полученного результата следует, что дифференциал функции можно записать следующим образом:

(13.3.3)

Как следствие имеем выражение:

(13.3.4)

то есть производная может быть обозначена и как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Так как дифференциал вычисляется с помощью производной, то он имеет те же свойства, что и сама производная.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. Пусть – непрерывная и дифференцируемая на отрезке функция (рис. 13.3.1).

Рис. 13.3.1

Величина производной этой функции в точке равна тангенсу угла наклона к оси касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке, то есть . Но . Отсюда следует геометрический смысл дифференциала функции.

Определение 13.3.2. С геометрической точки зрения дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к кривой в этой точке.