Лекция 3. Раздел 3.3.
Векторное произведение.

Существует целый ряд задач, в которых выполняется операция умножения вектора на вектор, но по правилу, отличающемуся от скалярного произведения.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где – угол между и ;

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) векторы , , образуют правую тройку.

Обозначается векторное произведение или . Геометрически оно выглядит следующим образом (рис. 3.3.1):

Рис. 3.3.1

К векторному произведению, в частности, приводит задача вычисления линейной скорости точки, вращающейся вокруг оси.

Рассмотрим диск радиуса , который вращается вокруг своей оси (рис. 3.3.2). Найдем линейную скорость точки , расположенной на боковой поверхности диска.

Как известно, . Но из прямоугольного треугольника следует, что . Значит, . В полученном выражении выполняются все три требования векторного произведения. Следовательно, .

Основными свойствами векторного произведения являются:

1) ;

2) ;

3) .

Рассмотрим другие свойства векторного произведения.

Рис. 3.3.2

Теорема 3.3.1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Дано, что . Но если , то и , то есть или .

Достаточность. Дано, что , то есть или . Значит, .

Теорема 3.3.2. С геометрической точки зрения векторное произведение соответствует площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Рассмотрим параллелограмм (рис. 3.3.3). Как известно, его площадь .