Лекция 8. Раздел 8.1
Понятие множества.

Разделом высшей математики, на котором строятся все ее основные понятия и методы решения различных задач, является теория пределов. В данной теории исследуется поведение различных функций в процессе изменения их аргументов. Однако прежде чем перейти к данному вопросу следует рассмотреть основополагающее понятие математики, называемое множеством. Понятие множества является тем фундаментом, на котором стоит все здание математики.

Как в окружающей нас жизни, так и в математике, мы постоянно сталкиваемся с различными наборами элементов, которые обладают какими-то свойствами и связаны друг с другом какими-то отношениями. Так можно говорить о совокупности всех натуральных чисел, о множестве всех прямых на данной плоскости, о множестве всех точек данного круга, о множестве всех учеников данной школы и так далее. Такие наборы или совокупности называются множествами.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют предметы в одно целое – множество, состоящее из этих предметов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845 - 1918) выразил это следующими словами: "Множество есть многое, мыслимое как единое".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Его обозначают знаком . Примерами пустого множества могут быть прямоугольники с неравными диагоналями; множество всех точек пересечения параллельных прямых; множество квадратных уравнений, имеющих более двух корней и т.д.

Понятие множества и элемента множества являются первичными. Понятие пустого множества также первично.

Из приведенных ранее примеров видно, что множество может содержать конечное и бесконечное количество элементов. В первом случае множество называется конечным, во втором – бесконечным.

Обычно множества обозначаются заглавными буквами , а их элементы – малыми

Если написано , то это значит, что совокупность содержит элементы , , и т.д. То же самое можно обозначить , где пробегает некоторое множество значений, которое всегда указывается. Если написано , это значит, что сформировано элементами , указанными после черты. Например: . Если элементы принадлежат множеству , будем писать , в противном случае будем писать .

Множество , которое содержит все числа между и , включая их самих, называется отрезком. Если числа и в данное множество не входят, то это интервал, который обозначается символом . Интервал является внутренностью отрезка. Числовые множества и называются полуотрезками или полуинтервалами. Ясно, что интервалы могут быть конечными и бесконечными.

Если каждый элемент множества является также элементом множества , то говорят, что – подмножество множества и пишут . Это понятие не исключает случая . Иначе говоря, каждое множество есть подмножество самого себя. Пустое множество есть подмножество любого множества.

В качестве иллюстрации в теории множеств используются круги Эйлера. Любое множество можно изобразить с помощью произвольного круга (круга Эйлера).

Над множествами можно выполнять некоторые операции. Пусть и произвольные множества.

Определение 8.1.1. Совокупность элементов, каждый из которых принадлежит, по крайней мере, одному из множеств А или В, называется суммой или объединением множеств и обозначается (рис. 8.1.1).

Рис. 8.1.1

Определение 8.1.2. Совокупность элементов, каждый из которых принадлежит как множеству А, так и множеству В, называется произведением или пересечением множеств и обозначается (рис. 8.1.2).

Рис. 8.1.2

Определение 8.1.3. Совокупность элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В, называется разностью множеств и обозначается (рис. 8.1.3).