Лекция 8. Раздел 8.1
Предел функции.
При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.
Определение 8.3.1. Число называется пределом функции
в точке
, если для любого
существует такое число
, что из условия
следует, что
.
Данное условие записывается в виде: . Отметим, что интервал длины
, который содержит в себе точку
, называется
- окрестностью точки
.
Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении к
. Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.
Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция , где
, имела предел
при
, где
, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовало такое число
, что из условия
вытекало условие
.
Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.
Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое , для которого
. Тогда, согласно теореме,
. Представим данное неравенство следующим образом:
.
Иначе говоря, как только станет отличаться от
меньше, чем на
, сама функция окажется в полосе шириной
, расположенной на линии
(рис. 8.3.1).
Рис. 8.3.1
В приведенном определении предела и теореме Коши может стремиться к
произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.
Определение 8.3.2. Если стремится к
, оставаясь все время меньше его, и при этом
стремится к
, то это число называется пределом функции слева и обозначается
.
Определение 8.3.3. Если стремится к
, оставаясь все время больше его, и при этом
стремится к
, то это число называется пределом функции справа и обозначается
.
Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке равны между собой.