Лекция 9. Раздел 9.2
Свойства пределов.

Теорема 9.2.1. Если при функция имеет предел равный , то в окрестности точки ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой величины .

Доказательство. Дано, что . Но тогда из определения предела следует, что . Обозначив , получаем . Значит – бесконечно малая величина, то есть , что и требовалось доказать.

Теорема 9.2.2. Если функцию в окрестности точки можно представить как сумму числа и бесконечно малой величины , то предел при равен этому числу .

Доказательство. Дано, что при . Значит, или . Но по условию есть бесконечно малая величина, то есть при . Отсюда получаем, , то есть, по определению, , что и требовалось доказать.

Свойство 9.2.1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных при равен сумме пределов этих переменных, то есть

.

Доказательство. Пусть , . Тогда из теоремы 9.2.1 следует, что , . Составим сумму

.

Но сумма бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая, поэтому и согласно теореме 1.7.2

,

что и требовалось доказать.

Свойство 9.2.2. Предел произведения конечного числа переменных при равен произведению пределов этих переменных, то есть

.

Доказательство. Пусть , . Тогда из теоремы 9.2.1 следует, что , . Составим произведение

Но произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию, также как и сумма бесконечно малых величин, есть величина бесконечно малая, поэтому . Согласно теореме 9.2.2

,

что и требовалось доказать.

Свойство 9.2.3. Предел частного двух переменных при равен частному пределов этих переменных, то есть .

Доказательство. Пусть , . Тогда из теоремы 9.2.1 следует, что , . Составим частное

Но произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию, также как и частное от деления бесконечно малой величины на функцию, имеющую предел не равный нулю, есть величина бесконечно малая, поэтому . Согласно теореме 9.2.2 , что и требовалось доказать.

Оставшиеся три свойства пределов докажем графически.

Свойство 9.2.4. Если даны три функции , , и при этом , то из условия следует, что .

Из графика (рис. 9.2.1) следует, что кривая функции не может выйти за пределы кривых и и обязана попасть в ту же точку, что и они.

Рис. 9.2.1

Свойство 9.2.5. Если для всех значений при функция больше нуля, то будет также больше нуля.

Из графика (рис. 9.2.2) следует, что, оставаясь все время положительной, функция не может в точке принять отрицательное значение. Если бы это произошло, то она была бы отрицательной еще в каких-то точках из окрестности , что противоречит условию.

Рис. 9.2.2

Свойство 9.2.6. Если между функциями и при существует неравенство и функции имеют свои пределы в этой точке, то .

Рассмотрим графики этих функций (рис. 9.2.3). Очевидно, что если больше , то ее график будет расположен выше, и ни при каком значении , в том числе и при , он не может опуститься до графика функции .

Рис. 9.2.3