Лекция 9. Раздел 9.3
Первый замечательный предел.

При вычислении пределов различных числовых последовательностей и функций могут быть получены различные результаты. Предел может быть равен какому-то числу, может быть равен бесконечности, может вообще отсутствовать, но самым сложным является случай, когда вместо предела получается некоторая неопределенность, например, , , и т.д. Существует множество неопределенностей такого типа, однако наиболее существенными из них являются две. Изучим вначале первую из них.

Пусть дана функция . Очевидно, что она не определена при , так как в этом случае и числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль. Найдем предел этой функции, когда стремится к нулю, то есть .

Для решения данной задачи рассмотрим окружность единичного радиуса (рис. 9.3.1).

Рис. 9.3.1

Здесь – фиксированный радиус; – радиус, вращающийся против часовой стрелки; ; – центральный угол, причем .

Соединим точки и хордой, из точки опустим перпендикуляр на , а из точки восстановим перпендикуляр до пересечения с .

Найдем вначале . На рисунке дуга имеет длину, равную , а . Так как , то . Если устремить к нулю, то из четвертого свойства пределов (п. 9.2) следует, что .

Найдем теперь . Так как , то

.

Теперь перейдем к рассмотрению . Из рисунка следует, что . Здесь ; ; . Следовательно, . Разделим все неравенство на . Так как , то и знак неравенства при делении не изменится. Получим . Переходим к обратным величинам . Вычислим предел в данном неравенстве, что можно сделать на основании свойства 9.2.6 пределов. Так как в данном неравенстве , то на основании свойства 9.2.4 пределов

.

Это выражение и называется первым замечательным пределом.

Следствие 9.3.1. .

Следствие 9.3.2. .

Следствие 9.3.3. .

Следствие 9.3.4. .

Отметим в заключение, что первый замечательный предел был получен при условии, что . Если , то .