Лекция 11. Раздел 11.1
Непрерывность функций.

Пусть дана функция , которая определена в точке и некоторой ее окрестности, причем . Это значит, что на каком-то промежутке, включающем , график функции будет непрерывной линией. Зададим приращение аргументу функции , то есть перейдем от значения к + , что приведет к изменению значения функции от до + . Очевидно, что приращение функции можно определить из выражения: (рис. 11.1.1).

Рис. 11.1.1

Определение 11.1.1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и .

Условие непрерывности функции можно записать и несколько иначе:

или .

Значит, чтобы найти предел какой-то непрерывной функции, когда , необходимо у этой функции поменять на и произвести необходимые вычисления.

Определение 11.1.2. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , то она называется непрерывной на интервале.

О точках и здесь не было речи, так как из определения 11.1.1 следует, что может иметь любой знак, а для граничных точек приращение может быть только положительным или отрицательным. Поэтому вводятся дополнительные условия.

Если функция определена в точке и при этом , говорят, что в точке непрерывна справа. Если функция определена в точке и при этом , говорят, что в точке непрерывна слева.

Отсюда следует, что если функция непрерывна в каждой внутренней точке отрезка и, кроме того, непрерывна на его концах, то она будет непрерывной на отрезке.

Используя понятие предела справа и слева, непрерывность функции в точке может быть сформулирована следующим образом.

Определение 11.1.3. Функция называется непрерывной в точке , если: эта функция определена в точке и некоторой ее окрестности; имеет в этой точке пределы справа и слева; эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке , то есть .

Если хотя бы одно требование из определения 11.1.3 не выполняется, говорят, что функция терпит разрыв в точке . Существует два типа разрывов.

Определение 11.1.4. Если в точке функция не определена, но имеет конечные пределы слева и справа, то говорят, что данная функция терпит разрыв первого рода.

Например, (рис. 11.1.2).

Рис. 11.1.2

Если в случае разрыва первого рода пределы слева и справа равны между собой, то в этом случае точка называется точкой устранимого разрыва.

Определение 11.1.5. Если функция не определена в точке и хотя бы один ее предел слева или справа не существует или равен бесконечности, говорят, что данная функция терпит разрыв второго рода.

Например, (рис. 11.1.3).

Непрерывные на отрезке функции обладают несколькими полезными свойствами, которые проиллюстрируем графически.

Свойство 11.1.1. Функция непрерывная на отрезке достигает на нем хотя бы один раз своего максимального и минимального значения (рис. 11.1.4).

Свойство 11.1.2. Пусть функция непрерывна на отрезке , а на его концах принимает значения противоположных знаков, тогда между точками и существует, по крайней мере, одна точка , в которой функция равна нулю (рис. 11.1.5).

Свойство 11.1.3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Если ее значения на концах отрезка равны и , причем , то для любого числа , расположенного между и , существует хотя бы одно число , расположенное между и , такое что