Лекция 6. Раздел 6.4
Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

Решение многих математических и технических задач приводит к понятию системы линейных алгебраических уравнений. Из курса элементарной математики уже известны системы двух и трех линейных алгебраических уравнений с двумя и тремя неизвестными. Однако в общем случае такая система имеет вид:

то есть имеет уравнений и неизвестных. Здесь числа называются коэффициентами системы; – неизвестные, подлежащие определению; – свободные члены.

Определение 6.4.1. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю, то есть . В противном случае система называется неоднородной.

Определение 6.4.2. Система линейных алгебраических уравнений называется квадратной, если число неизвестных равно числу уравнений, то есть .

Определение 6.4.3. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему вместо обращает все уравнения в тождество.

Необходимо отметить, что не всякая система линейных алгебраических уравнений имеет решение.

Определение 6.4.4. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если имеется хотя бы одно ее решение. В противном случае система называется несовместной.

Определение 6.4.5. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется неопределенной, если у нее имеется, по крайней мере, два различных решения.

Существует несколько способов записи системы линейных алгебраических уравнений. Один из них представлен выше. Рассмотрим и другие способы.

Обозначим

; ; .

Здесь – основная матрица системы; – матрица-столбец неизвестных величин; – матрица-столбец свободных членов. Составим матричное уравнение . Приравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа от знака равенства, получим исходную систему линейных алгебраических уравнений. Очевидно, решением матричного уравнения будет такой столбец , который обратит данное уравнение в тождество.

Кстати, из матричной формы записи системы линейных алгебраических уравнений следует один из методов ее решения. В том случае, когда – квадратная невырожденная матрица, . Значит, квадратные системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной основной матрицей можно решать матричным способом.

Отметим, что если к основной матрице системы приписать справа столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы:

.

Еще одну форму записи системы линейных алгебраических уравнений можно получить, используя правила действий над матрицами:

.

Умножив матрицы-столбцы на и сложив их, снова получим исходную систему линейных алгебраических уравнений.