Лекция 9. Раздел 9.1
Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Вторым важным случаем при вычислении предела функции является понятие бесконечно большой величины.

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной при , если .

Основываясь на определении предела функции, охарактеризуем бесконечно большую величину иначе. Если , то

.

Значит, бесконечно большая величина это функция, которая может стать больше любого наперед заданного положительного числа.

Аналогичное определение вводится и для случаев, когда .

Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует тесная связь, которая устанавливается следующими теоремами.

Теорема 9.1.1. Если функция является бесконечно большой величиной при , то – бесконечно малая величина при .

Доказательство. Возьмем произвольное число . Так как – бесконечно большая величина при , то, согласно определению, как только , получим . Но тогда , то есть является бесконечно малой величиной, что и требовалось доказать.

Теорема 9.1.2. Если функция является бесконечно малой величиной при , то – бесконечно большая величина при .

Доказательство. Возьмем произвольное число . Так как – бесконечно малая величина при , то, согласно определению, как только , получаем . Но тогда , то есть является бесконечно большой величиной, что и требовалось доказать.

Так как бесконечно большие и бесконечно малые величины связаны между собой, то свойства бесконечно большой величины такие же, как и у бесконечно малой.