Лекция 6. Раздел 6.6
Правило Крамера.

Итак, метод проверки системы линейных алгебраических уравнений на совместность выяснен. Как же в этом случае найти ее решение?

Рассмотрим вначале квадратную систему

или . Так как в данном случае является квадратной матрицей, то решение системы можно получить с помощью решения матричного уравнения, о чем было сказано выше. Пользуясь этим методом, можно получить и так называемые формулы Крамера.

Следует еще раз отметить, что решение матричного уравнения можно получить лишь в случае, когда основная матрица системы не вырождена, то есть ее определитель , называемый определителем системы, не равен нулю. Значит,

.

В этом случае система называется невырожденной. Если , то система называется вырожденной и метод Крамера непригоден.

Рассмотрим невырожденную квадратную систему. Для решения соответствующего ей матричного уравнения найдем :

.

Тогда . Подставляя в это равенство матрицы и , получим:

.

Из равенства двух матриц следует: . Легко убедиться, что в скобках стоит величина определителя

.

Он получен из определителя системы путем замены первого его столбца на столбец свободных членов.

Аналогичные выражения получаются для , но определители получаются из определителя системы путем замены уже не первого, а соответствующего столбца на столбец из свободных членов. Следовательно,

, ,..., .

Эти выражения и называются формулами Крамера.