Лекция 13. Раздел 13.2
Уравнение касательной и нормали.

Рассмотрим график функции , которая непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его точках (рис. 13.2.1).

Возьмем точку , лежащую на графике кривой внутри , и проведем в этой точке касательную к кривой. Поскольку касательная является прямой линией, то ее уравнение на плоскости имеет вид: , где . Однако, с геометрической точки зрения, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси равен производной функции в той точке, в которой проведена касательная. Следовательно, . Отсюда получаем, что уравнение касательной к кривой на плоскости имеет вид:

(13.2.1)

Рис. 13.2.1

Дадим теперь определение трех геометрических понятий, связанных с касательной.

Определение 13.2.1. Направлением линии в точке называется направление касательной , проведенной к этой линии в точке .

Определение 13.2.2. Углом между двумя пересекающимися в точке линиями и называется угол между касательными, проведенными к этим линиям в точке их пересечения.

Определение 13.2.3. Прямая, перпендикулярная к касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в данной точке.

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то из условия перпендикулярности двух прямых на плоскости имеем:

или ,

где и – угловые коэффициенты касательной и нормали, соответственно. Следовательно, уравнение нормали имеет вид:

(13.2.2)