Лекция 13. Раздел 13.5
Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция дифференцируема на отрезке . В общем случае производная этой функции также зависит от , то есть является функцией : . Продифференцировав эту новую функцию (если она дифференцируема), получим вторую производную .

Определение 13.5.1. Производная от первой производной называется производной второго порядка и обозначается .

Точно так же можно подсчитать третью производную и так далее.

Определение 13.5.2. Производной го порядка называется производная от ой производной и обозначается .

Очевидно, чтобы найти производную го порядка, необходимо произвести последовательных операций дифференцирования.

Рассмотрим параметрически заданную функцию Как было показано в п. 2.5, . Для вычисления второй производной необходимо найти , то есть . Произведя все необходимые вычисления, получаем:

Аналогичным образом можно найти производную любого порядка параметрически заданной функции, если она существует.

Выясним механический смысл производной второго порядка. Как было показано ранее, если материальное тело при своем прямолинейном движении проходит путь , то его скорость .

Но, как известно, движение не всегда бывает равномерным, и скорость может зависеть от времени также. Иначе говоря, при переходе от к скорость может получить приращение. Среднее ускорение на отрезке времени равно: . Устремляя к нулю, получаем мгновенное значение ускорения

Однако , значит, . Следовательно, с механической точки зрения вторая производная это ускорение.

В заключение рассмотрим дифференциалы высших порядков. Как было сказано в п. 13.3, если функция дифференцируема на , то ее дифференциал равен выражению: . Но полученное выражение также есть функция , и если оно дифференцируемо, то у него можно найти свой дифференциал.