Лекция 15. Раздел 15.2
Экстремумы функции.

При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.

Определение 15.2.1. Точка называется точкой максимума функции , если для любого, сколь угодно малого , , а точка называется точкой минимума, если .

Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 15.2.1).

Рис. 15.2.1

Теорема 15.2.1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая на интервале функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума .

Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума , и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси .

Из теоремы 15.2.1 вытекает, что если функция имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где .

Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции в точке производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции есть минимум в точке , хотя производная в этой точке не существует.

Определение 15.2.2. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции.

Следовательно, теоремы 15.2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.

Теорема 15.2.2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна на интервале , который содержит ее критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную ;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.