Лекция 15. Раздел 15.3
Интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.

Определение 15.3.1. Функция называется выпуклой на промежутке , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.

Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Теорема 15.3.1. Если во всех точках интервала вторая производная функции непрерывна и отрицательна, то функция выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута.

Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку и проведем в этой точке касательную к графику функции (рис. 15.3.1). Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений ординаты кривой меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .

Рис. 15.3.1

Для определенности обозначим уравнение кривой: , а уравнение касательной к ней в точке : или . Составим разность и :

.

Применим к разности теорему о среднем Лагранжа (п. 14.2):

,

где .

Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:

,

где . В нашем случае, как видно из рисунка, , тогда и . Кроме того, по условию теоремы, . Перемножая эти три множителя, получим, что , что и требовалось доказать.

Определение 15.3.2. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба.

Из определения 15.3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.

Теорема 15.3.2. Если в точке вторая производная функции равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба.

Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 15.3.2, точка является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.