Лекция 7. Раздел 7.3
Метод Гаусса.

Для решения произвольных однородных систем линейных алгебраических уравнений удобен метод Гаусса. Основан он на следующем.

При вычислении ранга расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований ее приводят к трапецеидальному виду:

.

Но если исходная матрица соответствует исходной системе уравнений, то трапецеидальная матрица будет соответствовать той же системе, но в измененном виде.

Особенность трапецеидальной матрицы заключается в том, что каждая ее последующая строка имеет на один ноль больше и, соответственно, на один коэффициент не равный нулю меньше. Строки, целиком состоящие из нулей, соответствуют исчезнувшим уравнениям. В последней строке будет один коэффициент не равный нулю и, значит, одна неизвестная в уравнении для определенной системы. В случае неопределенной системы в последнем уравнении будет одна базисная переменная и несколько свободных.

Находя эту базисную неизвестную из последнего уравнения, переходим затем к предпоследней строке и соответствующему ей уравнению и находим следующую базисную неизвестную. Эта операция повторяется до первой строки. После вычисления всех базисных неизвестных составляется нормированная фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.