Лекция 7. Раздел 7.4
Решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений.

Выясним, чем отличается решение произвольной неоднородной системы алгебраических уравнений от решения однородной системы.

Определение. Однородная система линейных алгебраических уравнений называется соответствующей неоднородной системе, если коэффициенты при неизвестных у них одинаковые, а свободные члены неоднородной системы заменены нолями.

Рассмотрим произвольную совместную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:

Пусть у нее в общем случае , то есть имеется бесконечное множество решений.

Теорема 7.4.1. Сумма любого решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с любым решением соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы.

Доказательство. Возьмем произвольное решение неоднородной системы

и произвольное решение соответствующей ей однородной системы

.

Рассмотрим их сумму .

Если данная сумма является решением неоднородной системы, то она должна превратить в тождество любое ее уравнение:

что и требовалось доказать.

Теорема 7.4.2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является решением соответствующей однородной системы.

Доказательство. Возьмем два произвольных решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений:

и .

Составим их разность .

Подставим полученную разность в любое уравнение неоднородной системы:

Так как левая часть уравнения обратилась в ноль, значит, является решением однородной системы, что и требовалось доказать.

Из теоремы 7.4.2 следует, что если , то . Иначе говоря, взяв какое-то одно решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений и прибавляя к нему разные решения соответствующей однородной системы , получим разные решения неоднородной системы, что подтверждается теоремой 7.4.1.

Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме какого-то частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы.