520 головоломок.
Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
КОМБИНАТОРНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ИГРОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ГОЛОВОЛОМКИ С ДОМИНО
ГОЛОВОЛОМКИ СО СПИЧКАМИ
РАЗНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ОТВЕТЫ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

151. Арифметика букв. Вот головоломка с вычитанием, решение которой, возможно, доставит читателю несколько приятных минут.

Пусть АВ, умноженное на С, равно DE. Если DE вычесть из FG, то получится HI:

---

---

Каждая буква обозначает вполне определенную цифру (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Цифра 0 в записи примера не встречается.

152. Цифры вместо букв. Однажды утром профессор Рэкбрейн предложил своим юным друзьям следующую довольно трудную задачу. Он выписал буквы алфавита в следующем порядке:

— Каждая буква,— сказал он, — обозначает свою цифру от 1 до 9 (0 исключен). Четырехзначное число, умноженное на пятизначное, дает число, содержащее все 9 цифр в указанном порядке. Можете ли вы подставить цифры вместо букв так, чтобы выполнялось написанное равенство?

153. Тайна лавочника. Один лавочник, желая сохранить свои счета в тайне, выбрал слово из десяти букв (все разные) вроде ЗАЧЕРКНУТЬ, где каждая буква соответствует цифре в следующем порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Например, в случае приведенного выше ключевого слова ЗА означает 12, ЧЕР — 345 и т, д. Если сумма

---

---

записана в таком коде, то каким ключевым словом пользовался лавочник? Найти ответ нетрудно.

154. «Пчелиный воск». В неком секретном коде слово BEESWAX⁸ обозначает число. Полиция не могла найти ключ к этому коду до тех пор, пока среди бумаг не обнаружила следующую запись:

---

---

Сыщики предположили, что здесь изображена сумма, но никак не могли ее расшифровать. Затем одного из них осенила блестящая идея, что, быть может, здесь изображено не сложение, а вычитание. Догадка и в самом деле оказалась верной: подставив разные цифры вместо разных букв, сыщики разгадали код.

Какое число записывается в этом коде как BEESWAX?

155. От «неверного» к «верному».⁹

— Из двух «неверно» не сделаешь «верно»,— сказал кто-то за завтраком.

— Я в этом не уверен,— возразил полковник Крэкхэм.— Вот вам пример (каждая буква обозначает свою цифру, а все зашифрованные цифры отличны от нуля):

---

---

Если вы подставите нужные цифры, то равенство будет выполнено. Это можно сделать несколькими способами.

156. Умножение букв. В этом маленьком примере на умножение пять букв соответствуют пяти различным цифрам. Каким именно? Среди цифр нет нуля.

---

---

157. Секретный код. У двух конспираторов был секретный код. Иногда в их переписке попадались несложные арифметические действия, имевшие совершенно невинный вид. Однако в коде каждая из десяти цифр обозначала свою букву алфавита. Так, однажды встретилась сумма, которая, после того как вместо цифр подставили соответствующие буквы, приняла вид¹⁰

---

---

Интересно было бы восстановить эту сумму, зная, что I и О обозначают соответственно цифры 1 и 0.

158. Буквенно-цифровая головоломка. Эту головоломку при верном подходе разгадать нетрудно:

Каждая буква обозначает свою цифру, и, разумеется, AC, BC и т. д. — это двузначные числа. Можете ли вы определить, какой цифре соответствует каждая буква?

159. Плата мельнику. Вот одна очень простая головоломка, хотя я встречал людей, которые размышляли над ней по нескольку минут.

Мельник брал в уплату за помол всей муки. Сколько муки получилось из зерна крестьянина, если после уплаты мельнику у него остался один мешок?

160. Куры и яйца. Вот новый вариант старой задачи. Хотя она и выглядит очень сложной и запутанной, при правильном подходе ее решить чрезвычайно легко.

Если полторы курицы несут полтора яйца за полтора дня, то сколько кур плюс полкурицы, несущихся в полтора раза быстрее, снесут десяток яиц с половиной за полторы недели?

161. Стада овец. Четыре брата решили пересчитать своих овец. Оказалось, что у Клода на десять овец больше, чем у Дана. Если бы Клод дал четверть своих овец Бену, то у Клода и Адама вместе стало бы столько же овец, сколько у Бена и Дана вместе. Если бы затем Адам дал одну треть Бену, Бен дал бы после этого четверть своих овец Клоду, который потом отдал бы пятую часть Дану, а Бен затем поделил бы четверть своих овец поровну между Адамом, Клодом и Даном, то у каждого оказалось бы равное число овец.

Сколько овец было у каждого?

162. Продажа яиц. Одна женщина понесла на рынок яйца и какую-то их часть продала. На следующий день ее курочки постарались, удвоили количество оставшихся яиц, и она продала столько же, сколько и в предыдущий день. На третий день новый остаток был утроен, и женщина продала столько же яиц, сколько и в предыдущие дни. На четвертый день новый остаток учетверился, на пятый — упятерился, причем женщина ежедневно продавала одинаковое количество яиц. На исходе пятого дня все яйца были проданы.

Какое наименьшее количество яиц могла понести на рынок женщина в первый день и по скольку яиц она продавала ежедневно?

163. Кошка и мышка.

— В одной из этих бочек сидит мышка,— сказал пес.

— В которой? — спросила кошка.

— Да вон, в пятисотой.

— Что ты хочешь этим сказать? Ведь тут всего только пять бочек.

— Бочка, которую я имею в виду, будет пятисотой, если ты начнешь считать вперед и назад вот так.

И пес объяснил, как именно следует считать:

---

---

Например, седьмая бочка совпадет с той, на которой стоит цифра 3, а двенадцатая бочка — с той, на которой стоит 4.

— Это займет много времени,— сказала кошка и начала терпеливо считать. Несколько раз она сбивалась и начинала все сначала.

— Проклятье! — воскликнул пес.— Торопись, или будет слишком поздно!

— Будь ты неладен! Опять ты меня сбил, теперь придется начинать все сначала, А тем временем мышка, слышавшая весь разговор, прогрызла дырку и улизнула в тот самый момент, когда кошка прыгнула в нужную бочку.

— Так я и знал,— сказал пес.— Твое образование я бы не решился назвать слишком блестящим. Небольшое знакомство с арифметикой не повредило бы любой кошке, равно

---

---

как не вредит оно и любой собаке. Да что я говорю! Даже некоторые змеи столь усердно занимаются этой наукой, что им приходится носить очки!

Которая же из бочек была пятисотой? Не могли бы вы найти ответ, не считая до 500?

164. Армейское соединение. В состав армейского соединения, насчитывающего немногим более 20 тыс. человек, входит 5 бригад. Известно, что первой бригады, второй, третьей, четвертой и пятой бригады имеют равную численность.

Сколько человек в каждой бригаде?

165. Решающий голос. Съезд Объединенного общества странствующих попрошаек (более известного под названием Союза бродяг) собрался, чтобы решить вопрос о том, следует ли объявить забастовку, требуя сокращения рабочего дня и увеличения подаяний. Было решено, что при голосовании те члены общества, которые отдадут свои голоса в пользу забастовки, останутся стоять, а те, кто против, сядут.

— Джентльмены,— сказал председатель собрания после подсчета голосов,— я имею удовольствие сообщить, что забастовка утверждена большинством, составляющим четвертую часть оппозиции. (Громкие возгласы одобрения.)

— Господин председатель,— крикнули сзади,— кое-кто из нас не смог сесть.

— Почему?

— Да здесь нет стульев.

— Тогда, быть может, те, кто хотел, но не смог сесть, не откажутся поднять руки... Я вижу, вас двенадцать человек, так что забастовка отменяется большинством в один голос. (Свистки и беспорядок в зале.)

Сколько членов Общества попрошаек участвовало в голосовании?

166. Три брата. Военным властям надлежало решить вопрос, кого из трех сыновей некоего торговца следует освободить от воинской повинности.

— Я вам скажу, на что они способны,— заявил отец.— Артур и Бенджамин могут сделать за 8 дней ту же работу, на которую Артур и Чарлз затратят 9 дней, а Бенджамин и Чарлз — 10.

Поскольку ясно, что участие Чарлза лишь замедляет работу (с кем бы из братьев в паре он ни работал, времени на работу затрачивается больше, чем без него), то он и является самым слабым работником. Властям только это и нужно было узнать.

Нам же любопытно узнать и другое: за сколько дней каждый из братьев в отдельности сможет выполнить одну и ту же работу?

167. Номер дома. Один человек сказал, что дом его друга расположен на длинной улице (причем на той стороне, где стоит дом, дома нумеруются по порядку: 1, 2, 3 и т. д.) и что сумма номеров от начала улицы до дома друга совпадает с суммой номеров от дома друга до конца улицы. Известно также, что на стороне улицы, где расположен дом друга, домов больше 50, но меньше 500.

Каков номер дома, где живет друг рассказчика?

168. Еще одна головоломка с номерами домов. Браун живет на улице, на которой больше 20, но меньше 500 домов (все дома перенумерованы по порядку: 1, 2, 3 и т. д.). Браун обнаружил, что все номера от первого до его собственного включительно в сумме дают половину суммы всех номеров, от первого до последнего включительно.

Каков номер его дома?

169. Третья головоломка с номерами домов. На одной длинной улице Брюсселя дома перенумерованы по одну сторону четными, а по другую нечетными числами (способ нумерации, принятый во многих странах).

1. Если человек живет на нечетной стороне улицы и сумма всех номеров по одну сторону от его дома совпадает с суммой номеров по другую, то сколько домов на этой стороне улицы и каков номер его дома?

2. Если человек живет на четной стороне улицы и сумма всех номеров по одну сторону от его дома совпадает с суммой номеров по другую, то сколько домов на этой стороне улицы и каков номер его дома?

Мы предполагаем, что на каждой стороне улицы расположено больше 50 и меньше 500 домов.

170. Исправьте ошибку. Хильде Вильсон потребовалось умножить некоторое число на 409, но она сделала ошибку, которую часто допускают дети, начинающие изучать арифметику: первую цифру произведения на 4 она поместила не под третьей цифрой справа, как положено, а под второй. (Мы все так делали в детстве, когда в сомножителе встречался 0.) В результате этой маленькой ошибки Хильда получила число, отличающееся ни много, ни мало на 328 320 от правильного ответа.

Какое число Хильда умножала на 409?

171. Семнадцать лошадей.

— Я думаю, что вы знаете эту старую головоломку,— сказал Джеффрис.— Один фермер по завещанию оставил трем своим сыновьям 17 лошадей, которые нужно было разделить между ними в следующих пропорциях: старшему , среднему и младшему . Как разделить лошадей?

— Да, по-моему, мы все ее знаем,— ответил Робинсон,— но она не имеет решения. Тот ответ, который всегда дают, ошибочен.

— Вы имеете в виду,— вступил в разговор Проджерс,— то решение, где сыновья занимают еще одну лошадь у соседа, чтобы получилось 18, а затем берут соответственно по 9, 6 и 2 лошади и возвращают занятую лошадь соседу?

— Вот именно,— сказал Робинсон,— причем каждый сын получает больше, чем ему полагалось.

— Стоп! — воскликнул Бенсон.— Вы не правы. Ведь если бы каждый сын получил больше, чем ему причиталось, то всего лошадей стало бы больше 17, но 9, 6 и 2 дают в сумме ровно 17.

— На первый взгляд это действительно кажется странным,— заметил Робинсон,— но все дело в том, что если бы каждый сын получил положенную ему долю наследства, то всего им досталось бы меньше 17 лошадей. Фактически еще осталась бы нетронутая часть. Задача и в самом деле не имеет решения.

— А вот здесь-то вы все и ошибаетесь,— заметил Джеффрис.— Условия завещания можно выполнить совершенно точно, не покалечив ни одной лошади.

К общему изумлению, он показал, как это сделать. Как поделить лошадей в строгом соответствии с завещанием?

172. Равные периметры. Рациональные прямоугольные треугольники занимали воображение людей еще во времена Пифагора, задолго до нашей эры. Каждому школьнику известно, что стороны таких треугольников, выраженные обычно в целых числах, обладают тем свойством, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так, на рисунке

---

---

в случае А квадрат 30 (900) плюс квадрат 40 (1600) равен квадрату 50 (2500); то же верно и в случаях В, С. Легко проверить, что у данных трех треугольников одинаковые периметры. Сумма длин всех сторон равна в каждом случае 120.

Можете ли вы найти 6 рациональных прямоугольных треугольников с одинаковым (наименьшим из возможных) периметром? Эта задача не столь трудна, как головоломка «Четыре принца» из моей книги «Кентерберийские головоломки»¹¹, где требовалось найти четыре таких треугольника равной площади.

173. Потомство коровы. «Допустим,— сказал мой приятель фермер Ходж,— что моя корова в двухлетнем возрасте даст в приплод телку. Допустим также, что она будет приносить по телке каждый год и что каждая из телок, достигнув двухлетнего возраста, последует примеру матери и будет ежегодно приносить по телке и т. д. Скажи-ка теперь, каково будет потомство этой коровы через 25 лет?»

Из пояснений Ходжа явствовало, что время он отсчитывал со дня рождения самой первой коровы и что за все 25 лет у него не будет ни своей говядины, ни своей телятины.

174. Сумма, равная произведению.

— Подумать только,— сказал мне один человек,— существуют два числа, сумма которых равна их произведению; то есть получится одно и то же, сложите ли вы их или перемножите между собой. Это 2 и 2, так как их сумма и произведение равны 4.

Далее он допустил грубую ошибку, сказав:

— Я обнаружил, что это единственные два числа, обладающие таким свойством.

Я попросил его написать любое число, сколь угодно большое, и сказал, что немедленно укажу другое число так, чтобы их сумма и произведение совпадали. Ему понравилось 987 654 321, и я быстро написал второе число.

Какое именно?

Оказывается, для любого наперед заданного числа существует другое число, вместе с которым оно обладает указанной особенностью. Если читателю об этом не известно, то, быть может, данная задача его заинтересует и он сам попытается найти соответствующую закономерность.

175. Квадраты и кубы. Можете ли вы найти два числа, разность квадратов которых представляет собой куб, а разность кубов — квадрат? Каковы два наименьших числа, обладающих этим свойством?

176. Интересный куб. Чему равна (в метрах) длина ребра куба, у которого:

1) полная поверхность и объем выражаются одним и тем же числом;

2) полная поверхность равна квадрату объема;

3) квадрат полной поверхности равен объему?

177. «Общий делитель». Вот одна головоломка, которую часто задают мне читатели (разумеется, конкретные числа в ней приводятся разные). Корреспондент одной провинциальной газеты сообщил, что многие учителя подорвали свое здоровье в тщетных попытках ее решить! Наверное, он немного преувеличил, потому что вопрос на самом деле простой, правда, если догадаться, с какой стороны к нему подойти.

Он заключается в следующем. Найти число, при делении на которое три числа 480 608, 508 811 и 723 217 давали бы один и тот же остаток.

178. Странное умножение. Меня часто просили объяснить следующий факт, который, несомненно, заинтересует многих читателей, не знавших о нем ранее. Если некто правильно выполняет сложение, но не умеет ни умножать, ни делить на числа, большие 2, то, оказывается, он сможет получить произведение любых двух чисел следующим странным способом. Предположим, например, что требуется умножить 97 на 23. Составляем 2 столбца чисел:

---

---

Мы последовательно делим на 2 числа первого столбца, отбрасывая остаток, пока не получим 1, а числа второго столбца столько же раз умножаем на 2. Если вычеркнуть те произведения, которые стоят против четных чисел левого столбца (мы заключили их в скобки), и сложить оставшиеся, то получится правильный ответ: 2231.

Почему?

179. Забракованная пушка. Эту нехитрую головоломку из области артиллерийской техники вы, вероятно, решите не задумываясь. Она настолько проста, что понять ее может даже ребенок. Никаких сведений из области артиллерии для решения головоломки не требуется. Тем не менее кое-кому из моих читателей придется поразмыслить над ней минут пять.

Один изобретатель предложил новое большое орудие комитету, в задачу которого входило рассмотрение подобных вопросов. Изобретатель заявил, что, зарядив пушку один раз, можно сделать из нее 60 выстрелов со скоростью 1 выстрел в минуту. Провели испытания и обнаружили, что пушка делает 60 выстрелов в час. Однако изобретение было отклонено «ввиду несоответствия техническим данным, указанным в заявке».

— Какая нелепость! — возмутился изобретатель.— Вы же видели, что скорострельность пушки была именно такой, как я обещал.

— Ничего подобного,— возразили эксперты,— скорострельность была иной.

Не могли бы вы объяснить, в чем таинственная причина разногласий? Кто был прав, изобретатель или эксперты?

180. Двадцать вопросов. Я вспомнил одну старую игру, в которую часто играл еще в юности. Кто-нибудь загадывает что-нибудь определенное, например Большей Бен, молоток на парадной двери, бой часов в соседней комнате, верхнюю пуговицу на пиджаке приятеля или трубку мистера Болдуина. Вы должны установить, что было загадано, задав не более 20 вопросов, на каждый из которых можно отвечать лишь «да» или «нет».

Задавать вопросы следует осмотрительно, так как, спросив, например: «Это животное, растение или минерал?», вы можете получить неудовлетворительный ответ «да» и тем самым затратите один вопрос впустую. Опытный игрок в «20 вопросов» ошибается редко; мне известны чрезвычайно трудные случаи, когда решение все же удавалось найти именно при таком условии.

Недавно мне предложили один новый вариант этой игры, в котором требуется некоторая изобретательность, причем разные люди могут подойти к решению по-разному. Состоит игра в следующем. Я задумываю шестизначное число. Можно ли угадать его, задав лишь 20 вопросов, на которые я отвечу только «да» или «нет»? После двадцатого вопроса вы должны назвать это число.

181. Карточный фокус. Возьмите обычную колоду карт (всех валетов, дам и королей на этот раз будем считать десятками). Взглянув на верхнюю карту (пусть, к примеру, это будет семерка), положите ее на стол вверх рубашкой, после чего, продолжая считать вслух по порядку: «Восемь, девять, десять...» — и т. д. до 12, вы выкладываете поверх нее другие карты из колоды. Поскольку нижняя карта — семерка, на столе образуется стопка из 6 карт.

Взгляните еще раз на верхнюю карту оставшейся части колоды (пусть, например, это будет «бывшая королева» — теперь десятка), положите ее на стол вверх рубашкой и, продолжая считать по порядку до 12, выкладывайте при каждом счете на стол по одной карте из колоды. На Этот раз в стопке окажется 3 карты (10, 11, 12). Действуйте так до тех пор, пока вы не исчерпаете всю колоду. Если в конце раскладки карт в колоде для полной стопки (до счета 12) окажется недостаточно, отложите недостроенную стопку в сторону.

Сообщите теперь мне, сколько у вас получилось стопок и сколько карт вы отложили в сторону, и я тотчас же сообщу вам сумму значений нижних карт во всех стопках. Для этого я просто умножу на 13 число стопок, уменьшенное на 4, и прибавлю число отложенных в сторону карт. Например, если окажется 6 стопок и 5 лишних карт, то 13, умноженное на 2 (6 минус 4), плюс 5 равно 31, сумме нижних карт.

Почему так получается?

182. Драчливые дети. Один человек женился на вдове, и у каждого из них были дети от первого брака. Через 10 лет разыгралась битва, в которой приняли участие все дети (к тому времени их стало 12). Мать прибежала к отцу с криком:

— Иди скорее! Твои и мои дети бьют наших детей!

У каждого теперь было по 9 собственных детей.

Сколько детей родилось за эти 10 лет?

183. Дележ яблок. Пока Крэкхэмы заправляли свой автомобиль в одной живописной деревушке, 8 детей, направлявшихся в школу, остановились и стали наблюдать за ними. В корзине у детей было 32 яблока, которые они собирались продать. Тетушка Гертруда по доброте душевной купила все яблоки и сказала, что дети могут разделить их между собой.

Дора спросила у каждого, как его зовут, и вечером того же дня сказала (правда, кое-что усложнив): «Энн получила 1 яблоко, Мэри 2, Джейн 3 и Кэт 4. Нед Смит получил столько же яблок, сколько и его сестра, Том Браун получил яблок в 2 раза больше своей сестры, Бил Джонс — в 3 раза больше своей сестры и Джек Робинсон — в 4 раза больше своей сестры».

Ну-ка, кто из вас сумеет назвать фамилию каждой девочки?

184. Покупая резинку. Вот головоломка, которая по виду весьма напоминает некоторые старые головоломки, но требует совершенно иного подхода. Автор ее не известен.

Четыре матери (каждая со своей дочерью) пошли в магазин купить резинку. Каждая мать купила в 2 раза больше метров резинки, чем ее дочь, и каждая из них купила столько метров, сколько центов она платила за метр. Миссис Джонс истратила на 76 центов больше, чем миссис Уайт; Нора купила на 3 метра меньше резинки, чем миссис Браун; Глэдис купила на 2 метра больше резинки, чем Хильда, которая истратила на 48 центов меньше, чем миссис Смит.

Как зовут мать Мэри?

185. Квадраты и треугольные числа. Какое третье по величине число (наименьшее число считается первым) является одновременно и треугольным числом¹², и квадратом? Разумеется, первые два числа, обладающие указанным свойством,— это 1 и 36. Чему равно следующее число?

186. Точные квадраты. Найдите четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляли бы собой точные квадраты.

187. Элементарная арифметика. Вот один вопрос, похожий на те, что были так популярны в Венеции (да и не только в ней) в середине XVI в. Своим появлением они во многом были обязаны Николе Фонтана, больше известному под именем Тарталья (заика).

Если бы четверть от двадцати равнялась четырем, то чему равнялась бы треть от десяти?

188. Перестановка цифр. Если мы хотим умножить 571 428 на 5 и разделить на 4, то для этого нам нужно лишь переставить 5 из начала в конец: число 714 285 дает верный ответ.

Не сумели бы вы найти число, которое можно было бы умножить на 4 и разделить затем на 5 столь же просто: переставив первую цифру в конец?

Разумеется, если бы разрешалось переставлять цифру из конца в начало, то 714 285 подошло бы и на этот раз. Однако цифру следует переставлять именно из начала в конец.

189. Странное сложение. Однажды во время завтрака полковник Крэкхэм попросил юных членов своей семьи написать 5 нечетных цифр, которые в сумме давали бы 14. Сделать это смог лишь один из них.

190. Шесть простых вопросов.

1) Вычтите четыре тысячи одиннадцать сотен с половиной из двенадцати тысяч двенадцати сотен двенадцати.

2) Добавьте 3 к 182 так, чтобы результат получился меньше 20.

3) Какие 2 числа в произведении дают 7?

4) Какие 3 цифры при умножении на 5 дают 6?

5) Если бы четырежды пять равнялось 33, то чему равнялась бы четверть от 20?

6) Найдите дробь, у которой числитель был бы меньше знаменателя и это свойство сохранялось бы при перевертывании дроби.

191. Три пастуха. Когда Крэкхэмы подъезжали к одному большому городу, им пришлось остановиться, потому что по дороге двигалось стадо овец, за ним — стадо быков, а следом пастухи гнали табун лошадей. Крэкхэмы поняли, что в городе сегодня базарный день. Джордж, воспользовавшись случаем, придумал следующую головоломку.

Три пастуха, гнавших свои стада, встретились на большой дороге. Джек и говорит. Джиму:

— Если я дам тебе 6 свиней за одну лошадь, то в твоем стаде будет вдвое больше голов, чем в моем.

А Дан заметил Джеку:

— Если я дам тебе 14 овец за одну лошадь, то у тебя в стаде будет втрое больше голов, чем у меня.

Джим в свою очередь сказал Дану:

— А если я дам тебе 4 коровы за лошадь, то твое стадо станет в 6 раз больше моего.

Сделки не состоялись, но не могли бы вы все же сказать, сколько голов скота было в трех стадах?

192. Пропорциональное представительство. Когда Крэкхэмы остановились в Манглтоне- на-Блисе, то застали жителей этого городка взбудораженными в связи с местными выборами. Выборы проходили по принципу пропорционального представительства. Каждому избирателю давался бюллетень с 10 именами кандидатов. Избиратель должен был поставить N 1 против кандидата, за которого отдавал свой первый голос, N 2 против того, за которого он отдавал второй голос, и т. д. до десятого включительно.

Избиратели должны были ставить «галочку» против N 1, против других номеров «галочки» можно было ставить или нет по желанию. Джордж предложил остальным членам семьи узнать, сколькими различными способами может избиратель расставить «галочки» в своем бюллетене.

193. Вопрос относительно кубов. Профессор Рэкбрейн однажды утром заметил, что кубы последовательных чисел, начиная с 1, могут в сумме давать полный квадрат. Так, сумма кубов 1, 2, 3 (то есть 1 + 8 + 27) равна 36, или 6². Профессор утверждал, что если брать последовательные числа, начиная не с 1, то наименьшими числами, сумма кубов которых равна квадрату некоторого числа, будут 23, 24 и 25 (23³ + 24³ + 25³ = 204²). Профессор Рэкбрейн предложил найти два наименьших набора последовательных чисел, начинающихся не с 1 и состоящих более чем из трех чисел, сумма кубов которых также равна квадрату некоторого натурального числа.

194. Два куба. «Не могли бы вы найти,— спросил профессор Рэкбрейн,— два последовательных куба, разность между которыми была бы полным квадратом? Например, 3³ = 27, а 2³ = 8, но их разность (19) не является полным квадратом».

Каково наименьшее возможное решение?

195. Разность кубов. Число 1 234 567 можно представить в виде разности квадратов, стоит только выписать два числа, 617 284 и 617 283 (половина данного числа плюс и минус соответственно), и взять разность их квадратов¹³. Найти же два куба, разность которых равнялась бы 1 234 567, несколько труднее.

196. Составные квадраты. Можете ли вы найти два трехзначных квадрата (без нулей), которые, будучи выписанными подряд, образуют шестизначное число, в свою очередь представляющее собой квадрат? Например, из 324 и 900 (18² и 30²) получается 324 900 (570²), но число 900 содержит два нуля, что запрещено условием.

Задача имеет лишь одно решение.

197. Квадраты в арифметической прогрессии. Как-то утром профессор Рэкбрейн предложил своим молодым друзьям найти три целых числа, образующих арифметическую прогрессию, при этом сумма любых двух из этих трех чисел должна представлять собой квадрат.

198. Дополнение до квадрата. «Какое число,— спросил полковник Крэкхэм,— обладает тем свойством, что если его прибавить к числам 100 и 164 в отдельности, то каждый раз получатся точные квадраты?»

199. Каре. «Один офицер построил своих солдат в каре,— сказала Дора Крэкхэм,— при этом 30 человек у него оказались лишними. Тогда он решил увеличить сторону квадрата на одного человека, но в этом случае ему 50 человек не хватило.

Сколько солдат было у офицера?»

200. Квадраты и кубы. Найдите два различных числа, сумма квадратов которых была бы кубом, а сумма кубов — квадратом.