Лекция 5. Раздел 5.2
Признаки параллельности прямой и плоскости.

Прямые и плоскости могут быть расположены и ориентированы в пространстве произвольным образом, поэтому и их уравнения могут быть самыми разнообразными. Однако существует целый ряд задач, когда необходимо знать, параллельны эти прямые и плоскости между собой или нет.

1. Рассмотрим вначале условие параллельности двух плоскостей. Пусть имеются два уравнения: ; . Как было сказано, коэффициенты в этих уравнениях являются компонентами нормальных к плоскости векторов. Значит, имеем: и .

Так как рассматриваемые плоскости параллельны, то и нормали к ним параллельны, то есть откуда . Отсюда следует, что .

Это и является признаком параллельности двух плоскостей. Если при этом и , то это, очевидно, просто одинаковые уравнения, значит, плоскости совпадают.

2. Если уравнения прямых линий даны в общем виде, то их коллинеарность доказывается аналогично. Рассмотрим две прямые линии, заданные в каноническом виде: ; . Следовательно, заданы два коллинеарных им направляющих вектора и .

Эти прямые будут параллельны, если параллельны их направляющие векторы: то есть и . Если же подстановка точки во второе уравнение или точки в первое обращают их в тождества, то прямые совпадают.

3. Осталось рассмотреть случай, когда прямая линия параллельна плоскости. Итак, пусть дана прямая и плоскость или, что то же самое, прямая и плоскость .

Для параллельности прямой и плоскости необходимо, чтобы нормаль к плоскости была ортогональна направляющему вектору прямой, то есть или .

Если плоскость задана в виде , то векторы , , должны быть компланарны: . Если к тому же координаты точки , лежащей на прямой, обращают уравнение плоскости в тождество, то прямая лежит на плоскости.