Лекция 5. Раздел 5.5
Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек на плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Проделаем с точками и те же действия, что и у эллипса.
Тогда . Возьмем . Проделав те же преобразования, что и у эллипса, получим . Однако в данном случае ; значит, . Поменяем в уравнении знак: . Обозначим . Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Так как уравнение гиперболы содержит и , то она симметрична относительно осей координат. Ось, на которой находятся фокусы, называется фокальной. Точка пересечения осей называется центром гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осями координат называются ее вершинами. При получаем , при – . Значит, гипербола пересекает только ось . Та ось, которая пересекается гиперболой, называется действительной, которая не пересекается – мнимой. В нашем случае длина действительной полуоси равна , мнимой – .

Из канонического уравнения гиперболы следует, что ее график имеет вид, изображенный на рис. 5.5.1. Проведя исследования графика гиперболы, можно обнаружить наличие у нее двух наклонных асимптот: и , которые являются диагоналями прямоугольника со сторонами и .

В случае, когда , гипербола называется равносторонней. Отношение называется эксцентриситетом. У гиперболы .

Рис. 5.5.1

Если уравнение гиперболы имеет вид , то гипербола расположена на оси , ось при этом – мнимая.