Лекция 5. Раздел 5.3
Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Уравнение плоскости называется нормированным, если в выражении множитель .

Чтобы получить нормированное уравнение плоскости, надо исходное уравнение умножить на . В скалярной форме уравнение плоскости необходимо умножить на нормирующий множитель . Получим:

.

В таком уравнении коэффициенты при , , являются компонентами единичной нормали.

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, необходимо в нормированное уравнение плоскости подставить координаты радиус-вектора этой точки:

Рис. 5.3.1

Доказательство. Рассмотрим плоскость, уравнение которой , и точку (рис. 5.3.1). Соединим точки и вектором . Опустим перпендикуляр из точки на плоскость. Его длина и будет равна расстоянию от точки до плоскости, то есть . Из видно, что . Значит, .

В скалярной форме необходимо в нормированное уравнение плоскости вместо текущих координат , , подставить координаты точки :

.

Очевидно, знак зависит от знака . Все точки, которые лежат по одну сторону от плоскости, имеют одного и того же знака, а по разные стороны – противоположного. Значит, по ответу можно определять, по одну или по разные стороны от рассматриваемой плоскости лежат точки.

Кстати, из полученного выражения для виден смысл слагаемого в уравнении плоскости. Найдем расстояние от плоскости до начала координат . В этом случае , то есть действительно характеризует расстояние от плоскости до начала координат (но не равно ему).